MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT: “ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tháng Tư 12, 2018 8:00 sáng

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VỤ BẢN

      TRƯỜNG THCS TÂN KHÁNH

 

 

 

 

 

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

 

( MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT:

“ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

– HỆ PHƯƠNG TRÌNH)

 

Tác giả: Nguyễn Thị Minh Thúy

Trình độ chuyên môn: Đại học Toán

Chức vụ: Giáo viên

Nơi công tác: Trường THCS Tân Khánh

 

 

 

 

                            Tân Khánh,ngày 15 tháng 3 năm 2018

 

 

  1. Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh học tốt: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình”.
  2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:Thuộc bộ môn đại số lớp 9

Tôi chọn hướng nghiên cứu là các giải pháp giúp học sinh không còn gặp khó khăn, lúng túng khi giải các bài toán có lời văn.

  1. Thời gian áp dụng sáng kiến:Từ ngày 5 tháng 9 năm 2017 đến ngày 15 tháng 3 năm 2018.
  2. Tác giả

Họ và tên: Nguyễn Thị Minh Thúy

Năm sinh: 1988

Nơi thường trú: Tân Khánh – Vụ Bản – Nam Định

Trình độ chuyên môn: Đại học Toán

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THCS Tân Khánh

Điện thoại: 0946318199

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100 %

  1. Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THCS Tân Khánh

Địa chỉ: Tân Khánh – Vụ Bản – Nam Định

Điện thoại:

 

 

 

 

 

 

 

 

           BÁO CÁO SÁNG KIẾN

          I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

  1. Sự cần thiết của việc thực hiện sáng kiến

Là một giáo viên giảng dạy môn toán bậc trung học cơ sở và đặc biệt là môn toán lớp 9 có một dạng toán mà trong quá trình dạy tôi thấy các em gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng để tìm ra lời giải của các bài toán dạng: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình”.

Do đặc trưng của dạng toán này là toán có lời văn và thường được kết hợp giữa toán học, vật lí, hoá học và đặc biệt là dạng toán này gắn liền với thực tế . Vì vậy khi muốn giải được các bài toán này đòi hỏi các em phải biết liên hệ với thực tế cuộc sống, nhưng khi giải các em thường thoát li khỏi thực tế. Mặt khác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo viên chỉ dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa phân loại dạng toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi dạng toán, do kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu vì thế trong quá trình đặt ẩn, tìm mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này.

  1. Mục đích của việc thực hiện sáng kiến

Với một dạng toán sau khi đã được học mà học sinh nào cũng làm được

đó là một điều mà bất kì giáo viên nào cũng đều mong muốn đạt được. Nhưng để đạt được điều đó giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, có kinh nghiệm, lòng nhiệt tình mà điều quan trọng hơn cả là các phương pháp truyền thụ kiến thức cần phải linh hoạt để các em tiếp cận bài toán một cách dễ hiểu.

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy nhiều em nắm các kiến thức về lí thuyết tương đối tốt nhưng lại gặp khó khăn trong quá trình ứng dụng các kiến thức đó vào giải các bài toán liên quan. Vì vậy việc tìm ra một phương pháp giải chung cho một dạng toán nào đó là thực sự cần thiết. Chương giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình là một chương khó, các em gặp nhiều lúng túng khi giải, xong lại được ứng dụng rất nhiều trong thực tế cuộc sống hàng ngày. Do đó làm thế nào để các em giải tốt dạng toán này là điều tôi trăn trở và đó là lí do tôi chọn đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh học tốt: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình”.

  1. Mô tả giải pháp:
  2. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Cứ nói đến dạng toán có lời văn hay giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình của lớp 9 là nhiều học sinh cảm thấy sợ và chán nản.          Các em nói: “Chúng em dù học lí thuyết rất kĩ, nắm vững được các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình sao chúng em vẫn

chưa tự tin khi làm dạng toán này”.

Lí do các em chưa làm được nhiều bài toán về dạng toán có lời văn vì các em chưa biết cách phân tích đề bài, chưa biết liên hệ bài toán với thực tế. Đặc biệt hơn là các em chưa biết nhận dạng bài toán có lời đó thuộc dạng toán nào và cần sử dụng những kiến thức nào để làm.

Vì vậy để các em giải được nhiều các bài toán có lời văn mà bấy lâu nay các em còn e ngại đó là lí do tôi tạo ra sáng kiến này.

  1. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

* Tính mới

Khi chưa có sáng kiến mới cứ nói tới các dạng toán có lời văn hay giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình là hầu hết các em đều chán nản, bởi lí do các em không tìm ra được các mối liên hệ của các yếu tố trong bài với ẩn đã chọn để lập nên phương trình, hệ phương trình. Đặc biệt là dạng toán có lời nhưng mỗi bài lại thấy khác nhau, có bài nói tới chuyển động, bài lại nói tới môn vật lí, hóa học… Vì vậy khi đọc tới đề bài là các em thấy lúng túng, khó khăn không tìm ra cách làm.

* Sự khác biệt

Khi dạy các bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương

trình tôi yêu cầu các em phải nhận dạng được dạng toán có lời xem bài toán đó giải được bằng cách nào lập phương trình hay hệ phương trình hay cả hai cách và bài toán đưa ra thuộc dạng toán có lời nào chuyển động hay năng suất …, nên gọi đại lượng nào làm ẩn, tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để lập nên phương trình và cần nhớ được các kiến thức nào có liên quan để áp dụng.

* Cách thức thực hiện

          Trước hết các em cần nắm được các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình.

Bước 1: Lập phương trình – Hệ phương trình (gồm)

+ Chọn ẩn (Chỉ rõ đơn vị và điều kiện của ẩn).

+ Biểu thị các số liệu chưa biết và đã biết qua ẩn.

+ Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng để lập nên phương trình, hệ

phương trình.

          Bước 2: Giải phương trình – Hệ phương trình.

          ( Chọn cách giải cho phù hợp)

          Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời.

          So sánh kết quả tìm được với điều kiện cuả ẩn xem có phù hợp không và trả lời kết quả.

    Các kiến thức cần trang bị

          + Trang bị cho học sinh các đơn vị kiến thức cơ bản liên quan, bản chất của việc giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình.

+ Các dạng bài liên quan tới giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình.

+ Một số bài tập áp dụng.

          *Các bước thực hiện

          Bước thứ nhất

+ Trang bị cho học sinh kiến thức về vật lí như đổi thời gian, khối lượng, độ dài, diện tích…

+ Biểu diễn số có hai chữ số trong hệ thập phân:

(Với 0 < a  9, 0  b  9, a, b  )

+ Biểu diễn số có ba chữ số trong hệ thập phân:  = 100a + 10b + c

(Với 0 < a  9, 0  b, c  9, a,b,c )

+ Nếu gọi quãng đường là S; vận tốc là v; thời gian là t thì: S = v . t; .

+ Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 thì  vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là: v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là: v = v1 v2

+ Diện tích hình chữ nhật: S = x.y (x là chiều rộng; y là chiều dài)

+ Diện tích tam giác: (x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)

+ Độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông: c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a, b là các cạnh góc vuông)

+ x% =

+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x %  thì dân số năm nay của tỉnh A là:

+

+ (V là thể tích dung dịch, m là khối lượng, D là khối lượng riêng)

+ Khối lượng nồng độ dung dịch =

+ Các phương pháp giải phương trình – Hệ phương trình.

Bước thứ hai

Cho học sinh nắm vững bản chất của việc giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình và cách giải một số dạng bài về giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình.

            MỘT SỐ DẠNG TOÁN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG 1. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

  1. Nguyên nhân gặp khó khăn: không có kiến thức thực tế về

+ Mối liên hệ giữa vận tốc và thời gian( trên cùng một quãng đường,đi nhanh thì hết ít thời gian, đi chậm thì hết nhiều thời gian)

+ Vận tốc đi xuôi dòng nước và ngược dòng nước.

+ Chuyển động cùng lúc, gặp nhau thì thời gian chuyển động bằng nhau.

2.Giải pháp

+ Trang bị cho học sinh kiến thức về vật lí như đổi thời gian

+ Nếu gọi quãng đường là S; vận tốc là v; thời gian là t thì: S = v . t; .

+ Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 thì  vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là: v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là: v = v1 v2

  1. Ví dụ

          VÝ dô 1: Hai người ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai giữ nguyên vận tốc như trường  hợp trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ gặp nhau chính giữa quãng đường. Tính vận tốc mỗi người.

Giải

Gọi vận tốc người đi nhanh là x (km/h; x > 0)

Vận tốc người đi chậm là y (km/h; y > 0)

Khi gặp nhau người đi nhanh đi được 2 km, người đi chậm đi được 1,6 km nên thời gian của người đi nhanh là:  (h), thời gian của người đi chậm là:  (h)

Vì đi ngược chiều nên khi gặp nhau 2 người có thời gian như nhau nên ta có phương trình:  =

Người đi chậm khởi hành trước 6’( = h) thì mỗi người đi được 1,8 km thời

gian của người đi nhanh là:  (h), thời gian của người đi chậm là:  (h)

Người đi chậm khởi hành trước 6’( = h) nên ta có phương trình:  + =

Vậy ta có hệ phương trình:   (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc người đi nhanh là 4,5 km/h người đi chậm là 3,6 km/h.

          Ví dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km. Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy.

Giải

Gọi vận tốc của xe máy là y (km/h), y > 0

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), x > 0

Quãng đường xe máy đi là 80 km nên thời gian xe máy đi để gặp ô tô là  (giờ)

Quãng đường ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là  (giờ)

Vì đi ngược chiều nên khi gặp nhau 2 xe có thời gian như nhau nên ta có phương trình:   (1)

Quãng đường xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là  (giờ)

Quãng đường ô tô đi là 120 km nên thời gian ô tô đi là  (giờ)

Vì ô tô đi trước xe máy 54 phút  =  (giờ) nên ta có phương trình:  –  =  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h.

          Ví dụ 3: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ.

Giải

Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), x > 0

Vận tốc lúc sau của ô tô là: x +10 (km/h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường đầu là:  (giờ)

Thời gian ô tô đi hết  quãng đường sau  là:  (giờ)
Vì thời gian ô tô đi hết quãng đường là 8 giờ nên ta có phương trình:

Phương trình có hai nghiệm:  (Thỏa mãn);  (Loại) Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.

          DẠNG 2. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HỌC

  1. Nguyên nhân gặp khó khăn:

Không nắm được cấu tạo của phân số, cấu tạo của số dẫn tới gọi sai.

2.Giải pháp

+ Trang bị cho học sinh kiến thức về vật lí như đổi thời gian, khối lượng, độ dài, diện tích…

+ Biểu diễn số có hai chữ số trong hệ thập phân:

(Với 0 < a  9, 0  b  9, a, b  )

+ Biểu diễn số có ba chữ số trong hệ thập phân:  = 100a + 10b + c

(Với 0 < a  9, 0  b, c  9, a,b,c )

  1. Ví dụ

          Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.

Giải

Gäi ch÷ sè hµng chôc cña sè cÇn t×m lµ x, ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ y (0 < x, y < 10, x, yN*)

Khi ®ã sè cÇn t×m lµ:   = 10 x + y

Viết 2 chữ số theo thứ tự ng­ược lại ta được:  = 10y + x

Vì hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị nên ta có phương trình : 2y – x = 1 hay – x + 2y = 1

Vì số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị nên ta có phương trình:

10x + y – (10y + x) = 27 hay x – y = 3

Vậy  ta có hệ phương trình  (Thỏa mãn điều kiện)

VËy sè cÇn t×m lµ 74

          Ví dụ 2: Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 15 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào.

Giải

Gọi số nhỏ là x (x  ), thì số lớn là x + 5

Vì tích của hai số là 150 ta có phương trình:  x(x + 5) = 150 Û x2 + 5x –150 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 10; x2 = – 15 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu 1 bạn chọn số 10 thì bạn kia phải chọn số 15

Nếu 1 bạn chọn số – 15 thì bạn kia phải chọn số – 10

          Ví dụ 3: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ x chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 99. Tìm số đã cho.

Giải

Gọi chữ số hàng chục là x (xN*; x)

Gọi chữ số hàng đơn vị là y (yN*; y)

số ban đầu là  = 10x + y

Khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta sẽ được số mới là:  = 10y + x

Vì số mới lớn hơn số đã cho là 63 nên ta có phương trình: 10y +  x – 10x – y = 6

Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 99 nên ta có phương trình:

10x + y +10y +x = 99

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:                                          ( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy số cần tìm là 18.

           DẠNG 3. DẠNG TOÁN VỀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG

  1. Nguyên nhân gặp khó khăn:

+ Không hểu rõ tại sao lại coi toàn bộ công việc, toàn bộ quãng đường là 1.

+ Không biết biểu diễn công viêc làm riêng, quãng đường đi riêng…trong 1 đơn vị thời gian.

+ Không lập được phương trình( hệ phương trình) biểu diễn mối liên hệ giữa công việc làm riêng với công việc làm chung.

2.Giải pháp

+ Giải thích cho học sinh hểu rõ tại sao lại coi toàn bộ công việc, toàn bộ quãng đường là 1.

+ Hướng dẫn học sinh cách biểu diễn công viêc làm riêng, quãng đường đi riêng…( lấy đơn vị thời gian đề cho chia cho toàn bộ thời gian).

+ Hướng dẫn học sinh cách lập được phương trình( hệ phương trình) biểu diễn mối liên hệ giữa công việc làm riêng với công việc làm chung.

3. Ví dụ

             Ví dụ 1: Hai đội công nhân cùng là một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đôi A là nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường trong bao lâu.

Giải

Gọi thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của đội A là x ngày (x > 24); đội B là y ngày (y > 24)

Trong 1 ngày đội A làm đ­ược  (Công việc), đội B làm đ­ược  (Công việc)

Một ngày 2 đội làm đư­ợc  (Công việc) nên ta có phương trình:  (1)

Năng xuất của đội A gấp r­ưỡi đội B ta có phương trình:  (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta đ­ược x = 40; y = 60 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy đội A làm một mình thì hoàn thành công việc trong 40 ngày, đội B làm một mình thì hoàn thành công việc trong 60 ngày.

          Ví dụ 2: Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể.

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút  và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì

được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể.

Giải

Đổi 1h 20’ = 80 phút

Gọi x là thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể (x > 80, phút)

Gọi y là thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể (y > 80, phút)

Trong 1 phút vòi 1 chảy được  (bể), trong 1 phút vòi 2 chảy được:  (bể)

Trong 80 phút cả hai vòi chảy được:  (bể) nên ta có phương trình:  +  = (1)

Khi mở vòi 1 trong 10 phút được  (bể)

Khi mở vòi 1 trong 12 phút được  (bể)

Theo đầu bài ta có phương trình:  ( 2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (Thỏa mãn)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 120 phút đầy bể.

Vòi thứ hai chảy một mình sau 240 phút đầy bể.

          Ví dụ 3: Hai đội quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ là chung trong 4 ngày thì xong việc. Nếu họ là riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là

 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong.

Giải

Gọi thời gian hoàn thành công việc của đội I là x (ngày), x > 0, thì thời gian hoàn thành công việc của đội II là: x + 6 (ngày)

Năng suất một ngày làm là:  (Công việc)

Năng suất một ngày làm là:  (Công việc)

Theo bài ta có phương trình:

Þ  4(x + 6) + 4x = x(x + 6) Û  x2 – 2x – 24 = 0

D’ = 1 + 24 = 25 > 0

Phương trình có hai nghiệm x1 = 6 (Thỏa mãn điều kiện); x2 = 4 (Loại)

Vậy một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc, đội II là trong 12 ngày thì xong việc.

            DẠNG 4. DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC

  1. Nguyên nhân gặp khó khăn:

+ Không nắm được công thức tính diện tích các hình.

+ Không nắm được công thức tính độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông.

2.Giải pháp

+ Diện tích hình chữ nhật: S = x.y (x là chiều rộng; y là chiều dài)

+ Diện tích tam giác: (x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)

+ Độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông: c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a, b là các cạnh góc vuông)

3. Ví dụ

          Ví dụ 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.

Giải:

Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).

Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm2) và diện tích là 40 (cm2) nên ta có phương trình: x.y = 40 (1)

Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích hình chữ nhật là: (x + 3)(y + 3) và diện tích tăng thêm 48 cmnên theo bài ra ta có phương trình:

(x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + 9 = 48 x + y = 13 (2)

Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của phương trình: X2 – 13X + 40 = 0

Ta có

Phương trình có hai nghiệm  (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)

          Ví dụ 2: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cách lên 3 cm thì diện tích tam giác đó tăng lên 36 cm2 và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.

Giải:

Gäi 2 c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x, y (cm; x, y > 0)

DiÖn tÝch tam gi¸c lµ  (cm2)

T¨ng mçi c¹nh lªn 3cm th× diÖn tÝch t¨ng 36 cm2 ta cã phương trình:

Gi¶m 1 c¹nh ®i 2cm vµ 1 c¹nh ®i 4cm th× diÖn tÝch gi¶m ®i 26 cm2 ta cã phương

trình:

Ta cã hÖ phương trình:

Gi¶i hÖ phương trình ta ®­îc x = 9; y = 12 (Thỏa mãn điều kiện).

VËy ®é dµi 2 c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng lµ 9 cm vµ 12 cm.

          Ví dụ 3: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc

vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác.

Giải:

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m) (0 < x < 5)

Cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m)

Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình:

x2  + (x + 1)2 = 52

phương trình có hai nghiệm phân biệt:

( Thỏa mãn điều kiện);  ( Loại)

Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3 m và 4 m.

            DẠNG 5. DẠNG TOÁN DÂN SỐ, LÃI SUẤT, TĂNG TRƯỞNG

  1. Nguyên nhân gặp khó khăn:

+ Không nắm được công thức tính phần trăm.

+ Không có kiến thức thực tế về cách tính lãi suất vay vốn ngân hàng.

2.Giải pháp

+ x% =

+ 1 năm có 12 tháng, 4 quý, mỗi quý có 3 tháng.

3. Ví dụ

          Ví dụ 1: Bác Thời vay 2 triệu đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào vốn tính lãi năm sau và lãi suất như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả 2420000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm một năm.

Giải

Gọi lãi suất cho vay là x (%), x > 0

Tiền lãi suất sau 1 năm là  (đồng)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi là 200000 + 20000 x (đồng)

Riêng tiền lãi năm thứ hai là

Số tiền sau hai năm Bác Thời phải trả là:

2000000 + 20000x + 20000x + 200x2 = 200x2 + 40000x + 2000000 (đồng)

Theo bài ra ta có phương trình: 200x2 + 40000x + 2000000 = 2420000

x2 + 200x – 2100 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 10 (thoả mãn); x2 = – 210 (không thoả mãn)

Vậy lãi suất cho vay là 10 % trong một năm.

Ví dụ 2: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17

triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng.

Giải

Giả sử không kể thuế VAT, người đó phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai (x, y > 0). Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất, (kể cả thuế VAT 10%) là  x (triệu đồng), cho loại hàng thứ hai, với thuế VAT 8% là  y (triệu đồng). Ta có phương trình:

x +  y = 2,17 hay 1,1x + 1,08y = 2,17

Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là:  hay 1,09x + 1,09y = 2,18.

Vậy ta có hệ phương trình:

Giải ra ta được: x = 0,5; y = 1,5 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất cà 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ 2.

            DẠNG 6.  DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VẬT LÝ, HÓA HỌC

  1. Nguyên nhân gặp khó khăn:

+ Không nắm được công thức liên hệ giữa thể tích, khối lượng khối lượng riêng.

+ Không nắm được công thức tính nồng độ dung dịch.

2.Giải pháp

+ (V là thể tích dung dịch, m là khối lượng, D là khối lượng riêng)

+ Khối lượng nồng độ dung dịch =

3. Ví dụ

            Ví dụ 1: Người ta đổ thêm 200 g nước vào một dung dịch chứa 40 g muối

thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước.

Giải

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: x (g), x> 0.

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là:

Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung  dịch là:

Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình:

Giải pt ta được x1 = – 440 (loại);  x2 = 160 (Thoả mãn điều kiện)

Vậy trước khi đổ thêm nước trong dung dịch có 160 g nước.

          Ví dụ 2: Một vật là hợp kim đồng và kẽm có khối lượng là 124 (g) và có thể tích 15cm3. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 gam đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7 gam kẽm thì có thể tích là 1cm3.

Giải

Gọi số gam đồng có trong hợp kim là: x (0 < x <124)

Gọi số gam kẽm có trong hợp kim là: y (0 < y < 124)

1 gam đồng có thể tích là:  (cm3)

x gam đồng có thể tích là:  (cm3)

1 gam kẽm có thể tích là:  (cm3)

y gam kẽm có thể tích là:  (cm3)

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:    (Thỏa mãn)

Vậy trong hợp kim có 89g đồng và 35g kẽm.

          DẠNG 7. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC

  1. Nguyên nhân gặp khó khăn:

+ Không có kiến thức thực tế về mệnh giá tiền.

+ Không nắm được công thức tính chu vi hình tròn.

+ Không nắm được cách tính số trung bình cộng.

2.Giải pháp

+ Giới thiệu các loại mệnh giá tiền( đang sử dụng) và cách quy đổi giữa các mệnh giá.

+ Nhắc lại công thức tính chu vi hình tròn .

+ Nhắc lại công thức tính số trung bình cộng.

  1. Ví dụ

Ví dụ 1:  Số tiền Lan mua 2 quyển sách, 2 cái bút hết 34 nghìn, số tiền

mua 10 quyển sách, 3 cái bút hết 100 nghìn. Hỏi Lan mua mỗi quyển sách, mỗi cái

bút hết bao nhiêu tiền.

Giải

Gọi giá tiền một quyển sách là x (nghìn), giá tiền một quyển sách là là y (nghìn)  (x, y >0)

Vì số tiền 2 quyển sách là 34 nghìn nên ta có phương trình: 2x + 2y = 34

Số tiền 10 quyển sách, 3 cái bút là 100 nghìn nên ta có phương trình: 10x + 3y = 100

Vậy ta có hệ phương trình:   (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá tiền một quyển sách là 7000 đồng, một quyển sách là 10000 đồng.

          Ví dụ 2:  Bẩy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi.

Giải:

Gọi tuổi con năm nay là x thì tuổi mẹ năm nay là 3x (,; x > 7 tuổi)

Trước đây 7 năm tuổi con là: x – 7 (tuổi)

Trước đây 7 năm tuổi mẹ là: 3x – 7 (tuổi)

Vì trước đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có phương trình:  3x – 7 = 5(x – 7) + 4

3x – 7 = 5x – 35 + 4 3x – 5x = – 35 + 4 + 7 – 2x = – 24

x = 12 ( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy năm nay tuổi con là 12 tuổi và tuổi mẹ là 36 tuổi.

          Ví dụ 3:  Hai vật chuyển động đểu trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

                     

Hai vật chuyển động cùng chiều (h.1)

Hai vật chuyển động ngược chiều (h.2)

Giải

Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s) (giả sử x > y > 0).

Nếu chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường  

mà vật đi nhanh đi được trong 20 giây hơn quãng đường mà vật kia cũng đi trong  20

giây là đúng 1 vòng (= 20π cm).

Ta có phương trình 20(x – y) = 20π   x – y = π (1)

Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây là đúng 1 vòng. Ta có phương trình:

4(x + y) = 20π  x + y = 5π (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình    (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của hai vật là 3π cm/s, 2π cm/s.

          Ví dụ 4:  Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bi mờ không đọc được (đánh dấu *):

Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6
Số lần bắn 25 42 * 15 *

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Giải

Gọi số lần bắn được 8 điểm là x, điều kiện x  , 0 ≤ x  ≤ 100.

Gọi số lần bắn được 6 điểm là y, điều kiện y  , 0 ≤ y ≤ 100.

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm ta có phương trình: 25.10 + 42 . 9 + 8x + 7.15 + 6y = 8,69 . 100 = 869

Vì số lần bắn là 100 nên ta có phương trình: 25 + 42 + x + 15 + y = 100

Vậy ta có hệ phương trình:

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy số lần bắn được 8 điểm là 4, số lần bắn được 6 điểm là 14.

III. Hiệu quả do sáng kiến kinh nghiệm đem lại:

  1. Hiệu quả kinh tế

Qua quá trình giảng dạy cũng như nghiên cứu các loại sách nên tôi đã tìm ra một số phương pháp và thực hiện nghiên cứu đối với học sinh lớp 9 năm học 2017 – 2018. Đầu học kì II khi mới tiếp cận với các bài toán có lời văn rất nhiều em tỏ ra chán nản vì thấy quá trừu tượng không tìm được lời giải cho bài toán. Khi học hết chương III, chương IV (Hệ phương trình và phương trình bậc hai) tôi đưa ra các bài tập có liên quan giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình và kết quả đạt được như sau:

      Điểm

 

Lớp

 

Sĩ số

 

Giỏi

 

Khá

 

Trung bình

 

Yếu

9A 28 3 = 10,7% 5 = 17,9% 17 = 60,7% 3=10,7%
9B 32 3=9,4% 6 = 18,75% 17= 53,1% 6 = 18,75%
9C 32 2=6,2% 7=21,9% 16=50% 7=21,9%

Nhìn vào chất lượng của kết quả khảo sát tôi rất lo lắng tới chất lượng bộ môn. Vì vậy tôi đã cố gắng nghiên cứu, tìm tòi các kiến thức và phương pháp truyền thụ để các em lĩnh hội được kiến thức dễ dàng hơn, dần dần các em đã có sự tiến bộ rõ rệt. Những bài toán đơn thuần trong sách giáo giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình các em lớp 9A đều giải được. Đối với học sinh lớp 9BC thì chất lượng cũng được thay đổi rõ rệt. Đặc biệt hơn cả là kết quả áp dụng đối với các bài toán phức tạp, áp dụng các kiến thức mới các em học sinh khá, giỏi đã nhận ra được cách làm và làm tương đối thành thạo. Cụ thể kết quả kiểm tra trong đợt khảo sát đánh giá chất lượng học sinh đạt được như sau:

      Điểm

 

Lớp

 

Sĩ số

 

Giỏi

 

Khá

 

Trung bình

 

Yếu

9A 28 6 = 21,4% 9 = 32,1% 13 = 46,4%  
9B 32 5 = 15,6% 10 = 31,3% 14 =43,8% 3= 9,3%
9C 32 4=12,5% 10=31,2% 14=43,8% 4=12,5%

Sau khi có kết quả kiểm tra chất lượng bộ môn thấy sự  tiến bộ vượt bậc của các em tôi rất phấn khởi vì những công sức mình bỏ ra đã được các em đền đáp. Tôi thấy các phương pháp tôi đưa ra đã giúp học sinh học môn toán tốt hơn.

  1. Hiệu quả về mặt xã hội

          SKKN: Một số giải pháp giúp học sinh học tốt: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Hệ phương trình” có thể áp dụng vào dạy môn đại số ở các trường trong huyện.

  1. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền

Trên đây là nội dung hiệu quả  do chính  tôI thực hiện, không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.

          CƠ QUAN ĐƠN VỊ                                       TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

      ÁP DỤNG SÁNG KIẾN                                               (Ký tên)

   (xác nhận, đánh giá, xếp loại)

 

 

 

PHÒNG GD & ĐT

(xác nhận, đánh giá, xếp loại)